Поддержка JavaScript отключена
| SBP-Program | |||||
| На главную -> Математика | Автор | Поиск    Загрузки | Реклама | ||
| Математика
]]> |
На сайте представлены некоторые темы из математики. ]]>    АЛГЕБРА
Натуральные числа определение — это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа: 1; 2; 3; 4;…
Это натуральный ряд чисел. Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b: a + b = c
с — это всегда натуральное число. Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b: a * b = c
с — это всегда натуральное число. Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет. Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b a : b = c
где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное. Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело. Каждое натуральное число делится на единицу и на себя. Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа. Единицу не считают простым числом. Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел: 4; 6; 8; 9; 10
Единицу не считают составным числом. Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа. Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N. Свойства сложения и умножения натуральных чисел: переместительное свойство сложения a + b = b + a;
сочетательное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c);
переместительное свойство умножения ab = ba;
сочетательное свойство умножения (ab) c = a (bc);
распределительное свойство умножения a (b + c) = ab + ac;
Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным. Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например: -1; -2; -3; -4;…
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z. Рациональные числа — это целе числа и дроби. Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры: -1,(0); 3,(6); 0,(0);…
Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль. Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера: 22/6 = 3,(6);
Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4. Ещё пример: рациональное число -9 может быть представлено в виде простой дроби как -18/2 или как -72/8. Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры: число пи = 3,141592…
число е = 2,718281… Действительные числа — это все рациональные и все иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.
Если соединить числа, знаки действий, скобки в одном выражении, то получим числовое выражение. Примеры числовых выражений: 1 + 2;
(1/2 + 3/4) * 15 + 12 — 8 : 2; (3/5)2 + (4/5)3; Числовое выражение равно числу, которое мы получим, выполнив все действия в этом числовом выражении. Если в выражении кроме чисел использовать буквы, то получим буквенное выражение. Примеры буквенных выражений: y = 2x;
a + b; d; В буквенных выражениях мы можем применять арфметические действия, возведение в рациональную степень, извлекать корень, такие выражения называют алгебраическими выражениями. Примеры алгебраических выражений: y = 2x + 23;
a + b : 2; d; Алгебраическое выражение называется целым, если в нём отсутствует деление на переменную и/или извлечение корня из переменных. Примеры целых выражений: a + b;
a + b/2; Алгебраическое выражение называется дробным, если в нём имеется деление и в знаменателе есть переменные и если в нём отсутствует извлечение корня из переменных. Примеры дробных выражений: (a + b2)/(a — b);
a + b/2a5; Вообще, любое дробное выражение представляется как A/B, где A и B рациональные выражения и, как уже отмечалось выше, в знаменателе есть переменные; ещё такое дробное выражение называют рациональной дробью. Основное свойство дроби состоит в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же (не ноль) число и при этом значение дроби не изменится. Как это понимать? Вот пример: пусть у нас есть дробное выражение 1/2, т.е. одна вторая. Разделим числитель на знаменатель, получим 1/2 = 0,5
Итак, простая дробь одна вторая равна в десятичном выражении 0,5. Теперь применим основное свойство алгебраической дроби, т.е. умножим числитель и знаманатель на одно и то же число. Пусть этим числом будет 2 (1 * 2)/(2 * 2) = 2/4
Здесь мы и числитель, и знаменатель умножили на два и получили простую дробь две четвёртых. Основное свойство дроби говорит, что наша дробь не изменилась. Но как же она не изменилась, ведь была дробь 1/2, а стала 2/4? Да, вид у неё стал другой. И чему равна наша новая дробь 2/4 в десятичном выражении? 2/4 = 0,5
А это указывает, что значение нашей дроби не изменилось, оно по-прежнему равно 0,5. Да, вид дроби изменился, но значение сохранилось. Мы умножили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число, при этом значение дроби не изменилось. В этом и состоит основное свойство дроби. В нашем примере мы можем смело записать: 1/2 = (1 * 2)/(2 * 2) = 2/4
Ещё пример. Пусть имеется дробное выражение: (a + b2)/(a — b);
Основное свойство дроби позвляет нам и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. Пусть этим числом будет 10 10(a + b2)/(10(a — b));
Вид дробного выражения изменился, но его значение сохранилось. Вспомним определение: основное свойство дроби состоит в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же (не нулевое) число и при этом значение дроби не изменится. Разделим и числитель, и знаменатель нашего нового дробного выражения на одно и тоже число. Пусть этим числом будет 10 10 : 10(a + b2)/(10 : 10(a — b));
10 : 10=1, а это значит, что дробное выражение приобретает вид: 1(a + b2)/(1(a — b));
Множитель, равный единице обычно не пишут, ведь любое число, умноженное на единицу равно самому себе. Опуская единичные множители, получаем: (a + b2)/(a — b);
А это и есть наше исходное дробное выражение. Мы ещё раз убедились, что умножение или деление и числителя, и знаменателя на одно и тоже число не меняет значение дробного выражения. Умножать или делить и числитель, и знаменатель дробного выражения можно и на целое рациональное выражение (при условии, что оно НЕ равно нулю). В качестве примера рассмотрим дробное выражение b/2a;
Умножим и числитель, и знаменатель на рациональное выражение a + b b(a + b)/(2a(a + b));
Изменился вид нашего исходного дробного выражения? Да, здорово изменился. А изменилось ли значение дробного выражения после умножения и числителя, и знаменателя на целое рациональное выражение a + b? Нет не изменилось, ведь, если и числитель, и знаменатель разделить на a + b, то получим исходное дробное выражение b/2a. А для чего нужно это основное свойство дроби? Для того чтобы сокращать дроби и для того, чтоб придавать дроби нужный вид. Прямо сейчас рассмотрим простой пример, где мы применим основное свойство дроби. Итак, пусть есть дробное выражение: (ab + b)/(2b + ab);
Перед нами задача упростить это дробное выражение. Замечаем, что и числитель, и знаменатель содержат общий множитель b, вынесем его за скобки: b(a + 1)/(b(2 + a));
Применим основное свойство дроби: разделим и числитель, и знаменатель на общий множитель b b : b(a + 1)/(b : b(2 + a));
Получаем (a + 1)/(2 + a);
Ведь b : b = 1, а множитель, равный единице мы просто опускаем. Итак, (ab + b)/(2b + ab) = (a + 1)/(a + 2);
В этом примере мы сократили дробное выражение за счет наличия и в числителе, и в знаменателе общего множителя b. Обратите внимание, речь идёт именно о множителе. Важно найти и вывести за скобку общий множитель. А вот пример, в котором часто ошибаются, т.к. забывают, что сокращать можно только на общий множитель числителя и знаменателя: ((a + 2) + b)/(a + 2)
И в числителе, и в знаменателе имеется выражение (a + 2). Ошибкой здесь будет просто зачеркнуть (a + 2) и в числителе, и в знаменателе для сокращения дроби, получив (1 + b)/1. Это ошибка. Почему? Потому, что мы сокрашать можем только общий множитель, умножение должно присутствовать. А у нас в числителе сумма: (a + 2) + b. Чтоб сократить эту дробь на (a + 2), надо в числителе вынести за скобку общий множитель (a + 2)(1 + b/(a + 2)) / (a + 2)
Таким путём мы получили умножение: выражение (a + 2) умножается на скобку (1 + b/(a + 2)), вот теперь можно сокращать и числитель, и знаменатель на (a + 2). Окончательно получаем: (1 + b/(a + 2))/1 = 1 + b/(a + 2)
Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, рассмотренные выше. Алгебраическое выражение называется иррациональным, если в нём имеется извлечение корня из переменных. Примеры иррациональных выражений: a2/5 + b2/5;
(2a)5/3; Дробная степень — это другая форма записи корня. Трансцендентные выражения содержат переменные под знаками логарифмической, показательной, тригонометрических функций. Примеры трансцендентных выражений: log5a + b;
cos(a + b); |
|
|||
|         |
        |
||||
|   | |||||