Подобные треугольники. Отношение периметров подобных треугольников. Коэффициент подобия

Что такое подобные треугольники?

Подобные треугольники определение

Подобные треугольники определение:

Подобные треугольники имеют соответственно равные углы, а сходственные стороны треугольников пропорциональны.

На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т.е. угол A равен углу A₁, угол B равен углу B₁, угол C равен углу C₁. Подобные треугольники

Сходственные стороны треугольников

Сходственные стороны треугольников пропорциональны:

AB /A₁B₁ = BC /B₁C₁ = AC /A₁C₁ = k

здесь k называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S_A_B_C / S_A₁_B₁_C₁ = k²

Отношение периметров подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:

AB = k * A₁B₁
BC = k * B₁C₁
AC = k * A₁C₁

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:

AB + BC + AC =
k * (A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁)

Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A₁B₁C₁. Разделим обе части равенства на периметр A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁. Получаем:

AB + BC + AC / (A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁) = k

что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников: