Комплексные числа

Понятие комплексного числа Арифметические действия с комплексными числами Алгебраическая форма записи комплексного числа Извлечение корня квадратного из отрицательного числа Возведение в степень комплексного числа Равенство комплексных чисел Калькулятор комплексных чисел онлайн

Понятие комплексного числа

Определение комплексного числа:

комплексное число — это упорядоченная пара действительных чисел.

Если каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, то каждому комплексному числу соответствует точка координатной плоскости.

Пример комплексного числа:

(2; 4), это упорядоченная пара действительных чисел.

Как понимать «упорядоченная»? В нашем примере (2; 4) на первом месте стоит 2, а на втором стоит 4. Если поменять местами эти числа, вот так (4; 2), то мы получаем другое число, которое не равно числу (2; 4).

Комплексное число (0; 0) называют комплексным нулём.

Арифметические действия с комплексными числами

Сумма комплексных чисел:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
(1; 2) + (4; 9) = (1 + 4; 2 + 9) = (5; 11)

Разность комплексных чисел:

(a; b) — (c; d) = (a — c; b — d)
(1; 2) — (4; 9) = (1 — 4; 2 — 9) = (-3; -7)

Произведение комплексных чисел:

(a; b) * (c; d) = (ac — bd; ad + bc)
(1; 2) * (4; 9) = (1*4 — 2*9; 1*9 + 2*4) = (-14; 17)

Деление комплексных чисел:

(a; b) : (c; d) = ((ac + bd)/(c2 + d2); (bc — ad)/(c2 + d2))
(1; 2) : (4; 9) = ((1*4 + 2*9)/(42 + 92); (2*4 — 1*9)/(42 + 92)) = (0.23; -0.01)

Все эти операции с комплексными числами вы можете проделать с помощью калькулятора комплексных чисел онлайн.

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

(a; b) = a + bi
(1; 12) = 1 + 12i
(-1; -12) = -1 — 12i

В алгебраической форме записи комплексного числа a + bi, a называется действительной частью комплексного числа, bi называется мнимой частью комплексного числа, i называется мнимой единицей.

Мнимая единица i равна корню квадратному из минус одного, значит квадрат мнимой единицы равен:

i2 = -1

Мнимая единица i даёт нам возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Извлечение корня квадратного из отрицательного числа

Извлечение корня квадратного из отрицательного числа:

complex root

ведь корень квадратный из минус единицы равен i, т.е. мнимой единице.

Возведение в степень комплексного числа

Возведение в степень комплексного числа делается ровно также, как и возведение в степень действительного числа. Надо лишь помнить, что мнимая единица в квадрате равна минус единице:

i2 = -1

Возведём в квадрат комплексное число 2 + 7i, используя формулу сокращённого умножения (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:

(2 + 7i)2 = 22 + 2 * 2 *7i + (7i)2 = 4 + 28i + (7)2(i)2 = 4 + 28i + 49 * (-1) = -45 + 28i

Равенство комплексных чисел

Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части соответственно:

(a; b) = (c; d), если a = c и b = d.