Школьная математика



Поддержка JavaScript отключена

SBP-Program
На главную -> Математика Автор Поиск&nbsp&nbsp&nbsp&nbspЗагрузки Реклама
Математика

]]>

Школьная математика

Автор: Субботин Б.П.

На сайте представлены некоторые темы из математики.
Материалы регулярно обновляются.

]]>

&nbsp&nbsp АЛГЕБРА

    ]]>

    Натуральные числа определение — это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

    1; 2; 3; 4;…

    Это натуральный ряд чисел.
    Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
    Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
    Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
    Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

    Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

    a + b = c

    с — это всегда натуральное число.

    Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

    a * b = c

    с — это всегда натуральное число.

    Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

    Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

    a : b = c

    где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

    Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

    Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

    Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

    Единицу не считают простым числом.

    Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

    4; 6; 8; 9; 10

    Единицу не считают составным числом.

    Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

    Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

    Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

    переместительное свойство сложения

    a + b = b + a;

    сочетательное свойство сложения

    (a + b) + c = a + (b + c);

    переместительное свойство умножения

    ab = ba;

    сочетательное свойство умножения

    (ab) c = a (bc);

    распределительное свойство умножения

    a (b + c) = ab + ac;

    Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

    Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:

    -1; -2; -3; -4;…

    Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

    Рациональные числа — это целе числа и дроби.

    Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

    -1,(0); 3,(6); 0,(0);…

    Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

    Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:

    22/6 = 3,(6);

    Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.

    Ещё пример: рациональное число -9 может быть представлено в виде простой дроби как -18/2 или как -72/8.

    Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.

    Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:

    число пи = 3,141592…
    число е = 2,718281…

    Действительные числа — это все рациональные и все иррациональные числа.

    Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.

    Если соединить числа, знаки действий, скобки в одном выражении, то получим числовое выражение. Примеры числовых выражений:

    1 + 2;
    (1/2 + 3/4) * 15 + 12 — 8 : 2;
    (3/5)2 + (4/5)3;

    Числовое выражение равно числу, которое мы получим, выполнив все действия в этом числовом выражении.

    Если в выражении кроме чисел использовать буквы, то получим буквенное выражение. Примеры буквенных выражений:

    y = 2x;
    a + b;
    d;

    В буквенных выражениях мы можем применять арфметические действия, возведение в рациональную степень, извлекать корень, такие выражения называют алгебраическими выражениями. Примеры алгебраических выражений:

    y = 2x + 23;
    a + b : 2;
    d;

    Алгебраическое выражение называется целым, если в нём отсутствует деление на переменную и/или извлечение корня из переменных. Примеры целых выражений:

    a + b;
    a + b/2;

    Алгебраическое выражение называется дробным, если в нём имеется деление и в знаменателе есть переменные и если в нём отсутствует извлечение корня из переменных. Примеры дробных выражений:

    (a + b2)/(a — b);
    a + b/2a5;

    Вообще, любое дробное выражение представляется как A/B, где A и B рациональные выражения и, как уже отмечалось выше, в знаменателе есть переменные; ещё такое дробное выражение называют рациональной дробью.

    Основное свойство дроби состоит в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же (не ноль) число и при этом значение дроби не изменится.

    Как это понимать? Вот пример: пусть у нас есть дробное выражение 1/2, т.е. одна вторая. Разделим числитель на знаменатель, получим

    1/2 = 0,5

    Итак, простая дробь одна вторая равна в десятичном выражении 0,5. Теперь применим основное свойство алгебраической дроби, т.е. умножим числитель и знаманатель на одно и то же число. Пусть этим числом будет 2

    (1 * 2)/(2 * 2) = 2/4

    Здесь мы и числитель, и знаменатель умножили на два и получили простую дробь две четвёртых. Основное свойство дроби говорит, что наша дробь не изменилась. Но как же она не изменилась, ведь была дробь 1/2, а стала 2/4? Да, вид у неё стал другой. И чему равна наша новая дробь 2/4 в десятичном выражении?

    2/4 = 0,5

    А это указывает, что значение нашей дроби не изменилось, оно по-прежнему равно 0,5. Да, вид дроби изменился, но значение сохранилось. Мы умножили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число, при этом значение дроби не изменилось. В этом и состоит основное свойство дроби. В нашем примере мы можем смело записать:

    1/2 = (1 * 2)/(2 * 2) = 2/4

    Ещё пример. Пусть имеется дробное выражение:

    (a + b2)/(a — b);

    Основное свойство дроби позвляет нам и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. Пусть этим числом будет 10

    10(a + b2)/(10(a — b));

    Вид дробного выражения изменился, но его значение сохранилось. Вспомним определение: основное свойство дроби состоит в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же (не нулевое) число и при этом значение дроби не изменится.

    Разделим и числитель, и знаменатель нашего нового дробного выражения на одно и тоже число. Пусть этим числом будет 10

    10 : 10(a + b2)/(10 : 10(a — b));

    10 : 10=1, а это значит, что дробное выражение приобретает вид:

    1(a + b2)/(1(a — b));

    Множитель, равный единице обычно не пишут, ведь любое число, умноженное на единицу равно самому себе. Опуская единичные множители, получаем:

    (a + b2)/(a — b);

    А это и есть наше исходное дробное выражение. Мы ещё раз убедились, что умножение или деление и числителя, и знаменателя на одно и тоже число не меняет значение дробного выражения.

    Умножать или делить и числитель, и знаменатель дробного выражения можно и на целое рациональное выражение (при условии, что оно НЕ равно нулю).

    В качестве примера рассмотрим дробное выражение

    b/2a;

    Умножим и числитель, и знаменатель на рациональное выражение a + b

    b(a + b)/(2a(a + b));

    Изменился вид нашего исходного дробного выражения? Да, здорово изменился. А изменилось ли значение дробного выражения после умножения и числителя, и знаменателя на целое рациональное выражение a + b? Нет не изменилось, ведь, если и числитель, и знаменатель разделить на a + b, то получим исходное дробное выражение b/2a.

    А для чего нужно это основное свойство дроби? Для того чтобы сокращать дроби и для того, чтоб придавать дроби нужный вид.

    Прямо сейчас рассмотрим простой пример, где мы применим основное свойство дроби. Итак, пусть есть дробное выражение:

    (ab + b)/(2b + ab);

    Перед нами задача упростить это дробное выражение. Замечаем, что и числитель, и знаменатель содержат общий множитель b, вынесем его за скобки:

    b(a + 1)/(b(2 + a));

    Применим основное свойство дроби: разделим и числитель, и знаменатель на общий множитель b

    b : b(a + 1)/(b : b(2 + a));

    Получаем

    (a + 1)/(2 + a);

    Ведь b : b = 1, а множитель, равный единице мы просто опускаем. Итак,

    (ab + b)/(2b + ab) = (a + 1)/(a + 2);

    В этом примере мы сократили дробное выражение за счет наличия и в числителе, и в знаменателе общего множителя b. Обратите внимание, речь идёт именно о множителе. Важно найти и вывести за скобку общий множитель.

    А вот пример, в котором часто ошибаются, т.к. забывают, что сокращать можно только на общий множитель числителя и знаменателя:

    ((a + 2) + b)/(a + 2)

    И в числителе, и в знаменателе имеется выражение (a + 2). Ошибкой здесь будет просто зачеркнуть (a + 2) и в числителе, и в знаменателе для сокращения дроби, получив (1 + b)/1. Это ошибка. Почему? Потому, что мы сокрашать можем только общий множитель, умножение должно присутствовать. А у нас в числителе сумма: (a + 2) + b.

    Чтоб сократить эту дробь на (a + 2), надо в числителе вынести за скобку общий множитель
    (a + 2) так:

    (a + 2)(1 + b/(a + 2)) / (a + 2)

    Таким путём мы получили умножение: выражение (a + 2) умножается на скобку (1 + b/(a + 2)), вот теперь можно сокращать и числитель, и знаменатель на (a + 2). Окончательно получаем:

    (1 + b/(a + 2))/1 = 1 + b/(a + 2)

    Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, рассмотренные выше.

    Алгебраическое выражение называется иррациональным, если в нём имеется извлечение корня из переменных. Примеры иррациональных выражений:

    a2/5 + b2/5;
    (2a)5/3;

    Дробная степень — это другая форма записи корня.

    Трансцендентные выражения содержат переменные под знаками логарифмической, показательной, тригонометрических функций. Примеры трансцендентных выражений:

    log5a + b;
    cos(a + b);

&nbsp
&nbsp
&nbsp
&nbsp
&nbsp
&nbsp
&nbsp
&nbsp
&nbsp