Теорема синусов

Что такое теорема синусов?

Теорема синусов для треугольника

Теорема синусов

Теорема синусов:

В треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема синусов формула

Теорема синусов формула:

a / sinA = b / sinB = c / sinC

Теорема синусов доказательство

Теорема синусов доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC Теорема синусов доказательство

Высота треугольника ABC равна h. Выразим h через синус угла С:

h = a sinC

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания b на высоту h:

S = (1/2)bh = (1/2)ab sinC

Аналогично найдём площадь данного треугольника, используя другие его стороны:

S = (1/2)bc sinA
S = (1/2)ac sinB

Левые части всех трёх равенств для площади одинаковы, ведь мы искали площадь одного треугольника, значит равны и правые части:

(1/2)ab sinC = (1/2)bc sinA
a sinC = c sinA

Разделим обе части последнего равенства на произведение sinA*sinC:

a sinC / (sinA*sinC) = c sinA / (sinA*sinC)
a / sinA = c / sinC

Аналогично, приравнивая правые части (1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB, получаем:

(1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB
b sinA = a sinB
b sinA / (sinA*sinB) = a sinB / (sinA*sinB)
b / sinB = a / sinA

В результате получаем:

a / sinA = b / sinB = c / sinC

Теорема доказана.

Теорема синусов для треугольника широко применяется при решении задач по геометрии, по кинематике и в других областях.

Следствия из теоремы синусов

Следствия из теоремы синусов.

Следствия из теоремы синусов состоят в том, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона.