Подобные треугольники

Что такое подобные треугольники?

Подобные треугольники определение

Подобные треугольники определение:

Подобные треугольники имеют соответственно равные углы, а сходственные стороны треугольников пропорциональны.

На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т.е. угол A равен углу A1, угол B равен углу B1, угол C равен углу C1. Подобные треугольники

Сходственные стороны треугольников

Сходственные стороны треугольников пропорциональны:

AB /A1B1 = BC /B1C1 = AC /A1C1 = k

здесь k называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

SABC / SA1B1C1 = k2

Отношение периметров подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A1B1C1. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:

AB = k * A1B1
BC = k * B1C1
AC = k * A1C1

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:

AB + BC + AC =
k * (A1B1 + B1C1 + A1C1)

Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A1B1C1. Разделим обе части равенства на периметр A1B1 + B1C1 + A1C1. Получаем:

AB + BC + AC / (A1B1 + B1C1 + A1C1) = k

что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников: