Что такое тангенциальное ускорение?
Тангенциальное ускорение рассмотрим на простом примере.
Пример тангенциального ускорения
Пусть скорость движения тела изменяется только по величине, а само движение является равнопеременным.
При равнопеременном движении модуль скорости изменяется на на одинаковую величину за равные промежутки времени.
График изменения скорости при равнопеременном движении: 
(Этот график я построил с помощью построителя графиков. Выбрал в нём вид функции «Линейная: y = k * x + b» и нажал кнопку «Построить график».)
Рассмотрим изменение скорости при изменении времени от 2-х до 5-ти секунд.
Время изменилось на «дельта t», а скорость изменилась на «дельта V»: 
Отношение «дельта V» к «дельта t» даёт тангенциальное ускорение: 
Из этого уравнения ясно, что тангенциальное ускорение является вектором. Кстати, а почему ясно, что это вектор? Потому, что умножение вектора на число даёт вектор. Это свойство векторов. В правой части уравнения вектор «дельта V» умножается на число один разделить на «дельта t». Значит, то чему равна правая часть уравнения есть вектор. А правая часть у нас равна тангенциальному ускорению, что следует из уравнения. Делаем вывод: тангенциальное ускорение является вектором.
Направление вектора тангенциального ускорения
Направлено тангенциальное ускорение по одной прямой с вектором скорости. Но в какую сторону?
Если скорость увеличивается, то вектор тангенциального ускорения направлен в ту сторону, что и вектор скорости и модуль тангенциального ускорения есть положительное число.
Если скорость уменьшается, то вектор тангенциального ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости и модуль тангенциального ускорения есть отрицательное число.
Модуль и знак тангенциального ускорения
Модуль и знак тангенциального ускорения найдём из уравнения: 
Для случая криволинейного движения вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к траектории.
В примере этой статьи мы рассматривали равнопеременное движение.
Для более сложных случаев, когда скорость изменяется неравномерно, следует график V от t разбить на участки, для которых график можно заменить прямой линией. И все наши рассуждения применить к такому участку. В этом случае для каждого участка будет своё тангенциальное ускорение.