Свойства степеней с натуральными показателями. Натуральная степень. Степени чисел. Свойства показателей степеней

Говоря про свойства степеней, считаем, что числа a и b действительные, а числа m и n натуральные.

Свойства степеней с натуральными показателями:

Свойство 1.

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, показатели степеней складываются:
a^maⁿ = a^{m + n}

Пример умножения степеней с одинаковыми основаниями:

5² * 5³ =
5^{2 + 3} =
5⁵

Обратите внимание на то, что основания степеней одинаковые, оба равны 5-ти.

Свойство 2.

2. Если степень возводится в степень, то показатели перемножаются:
(a^m)ⁿ = a^{m * n}

Пример возведения степени в степень:

(5²)⁴ =
5^{2 * 4} =
5⁸

То есть при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Свойство 3.

3. Если основания степеней разные, а показатели одинаковые, то произведение степеней равно степени произведения:
a^mb^m = (ab)^m

Пример произведения степеней:

4² * 3² =
(4 * 3)²

То есть произведение степеней равно степени произведения.

Свойство 4.

4. Частное степеней с одинаковыми основаниями, m > n:
a^m : aⁿ = a^{m — n}

Пример частного степеней с одинаковыми основаниями:

10⁶ : 10⁴ =
10^{6 — 4} = 10² = 100

То есть основание остается, а показатели степеней вычитаются.

Свойство 5.

5. Если основания степеней разные, а показатели одинаковые, то частное степеней равно степени частного:
aⁿ : bⁿ = (a/b)ⁿ

Пример частного степеней с разными основаниями и одинаковыми показателями:

5² : 6² =
(5/6)²

То есть частное степеней с одинаковыми показателями равно степени частного.