Выражения: алгебраические, трансцендентные


Понятие алгебраического выражения

Если соединить числа, знаки действий, скобки в одном выражении, то получим числовое выражение. Примеры числовых выражений:

1 + 2;
(1/2 + 3/4) * 15 + 12 — 8 : 2;
(3/5)2 + (4/5)3;

Числовое выражение равно числу, которое мы получим, выполнив все действия в этом числовом выражении.

Если в выражении кроме чисел использовать буквы, то получим буквенное выражение. Примеры буквенных выражений:

y = 2x;
a + b;
d;

В буквенных выражениях мы можем применять арифметические действия, возведение в рациональную степень, извлекать корень, такие выражения называют алгебраическими выражениями. Примеры алгебраических выражений:

y = 2x + 23;
a + b : 2;
d;

Целые рациональные выражения

Алгебраическое выражение называется целым, если в нём отсутствует деление на переменную и/или извлечение корня из переменных. Примеры целых выражений:

a + b;
a + b/2;
Наверх

Дробные рациональные выражения

Алгебраическое выражение называется дробным, если в нём имеется деление и в знаменателе есть переменные и если в нём отсутствует извлечение корня из переменных. Примеры дробных выражений:

(a + b2)/(a - b);
a + b/2a5;

Вообще, любое дробное выражение представляется как A/B, где A и B рациональные выражения и, как уже отмечалось выше, в знаменателе есть переменные; ещё такое дробное выражение называют рациональной дробью.

Основное свойство дроби состоит в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же (не ноль) число и при этом значение дроби не изменится.

Как это понимать? Вот пример: пусть у нас есть дробное выражение 1/2, т.е. одна вторая. Разделим числитель на знаменатель, получим

1/2 = 0,5

Итак, простая дробь одна вторая равна в десятичном выражении 0,5. Теперь применим основное свойство алгебраической дроби, т.е. умножим числитель и знаменатель на одно и то же число. Пусть этим числом будет 2

(1 * 2)/(2 * 2) = 2/4

Здесь мы и числитель, и знаменатель умножили на два и получили простую дробь две четвёртых. Основное свойство дроби говорит, что наша дробь не изменилась. Но как же она не изменилась, ведь была дробь 1/2, а стала 2/4? Да, вид у неё стал другой. И чему равна наша новая дробь 2/4 в десятичном выражении?

2/4 = 0,5

А это указывает, что значение нашей дроби не изменилось, оно по-прежнему равно 0,5. Да, вид дроби изменился, но значение сохранилось. Мы умножили и числитель, и знаменатель на одно и тоже число, при этом значение дроби не изменилось. В этом и состоит основное свойство дроби. В нашем примере мы можем смело записать:

1/2 = (1 * 2)/(2 * 2) = 2/4

Ещё пример. Пусть имеется дробное выражение:

(a + b2)/(a - b);

Основное свойство дроби позволяет нам и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. Пусть этим числом будет 10

10(a + b2)/(10(a - b));

Вид дробного выражения изменился, но его значение сохранилось. Вспомним определение: основное свойство дроби состоит в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же (не нулевое) число и при этом значение дроби не изменится.

Разделим и числитель, и знаменатель нашего нового дробного выражения на одно и тоже число. Пусть этим числом будет 10

10 : 10(a + b2)/(10 : 10(a - b));

10 : 10=1, а это значит, что дробное выражение приобретает вид:

1(a + b2)/(1(a - b));

Множитель, равный единице обычно не пишут, ведь любое число, умноженное на единицу равно самому себе. Опуская единичные множители, получаем:

(a + b2)/(a - b);

А это и есть наше исходное дробное выражение. Мы ещё раз убедились, что умножение или деление и числителя, и знаменателя на одно и тоже число не меняет значение дробного выражения.

Умножать или делить и числитель, и знаменатель дробного выражения можно и на целое рациональное выражение (при условии, что оно НЕ равно нулю).

В качестве примера рассмотрим дробное выражение

b/2a;

Умножим и числитель, и знаменатель на рациональное выражение a + b

b(a + b)/(2a(a + b));

Изменился вид нашего исходного дробного выражения? Да, здорово изменился. А изменилось ли значение дробного выражения после умножения и числителя, и знаменателя на целое рациональное выражение a + b? Нет не изменилось, ведь, если и числитель, и знаменатель разделить на a + b, то получим исходное дробное выражение b/2a.

А для чего нужно это основное свойство дроби? Для того чтобы сокращать дроби и для того, чтоб придавать дроби нужный вид.

Прямо сейчас рассмотрим простой пример, где мы применим основное свойство дроби. Итак, пусть есть дробное выражение:

(ab + b)/(2b + ab);

Перед нами задача упростить это дробное выражение. Замечаем, что и числитель, и знаменатель содержат общий множитель b, вынесем его за скобки:

b(a + 1)/(b(2 + a));

Применим основное свойство дроби: разделим и числитель, и знаменатель на общий множитель b

b : b(a + 1)/(b : b(2 + a));

Получаем

(a + 1)/(2 + a);

Ведь b : b = 1, а множитель, равный единице мы просто опускаем. Итак,

(ab + b)/(2b + ab) = (a + 1)/(a + 2);

В этом примере мы сократили дробное выражение за счет наличия и в числителе, и в знаменателе общего множителя b. Обратите внимание, речь идёт именно о множителе. Важно найти и вывести за скобку общий множитель.

А вот пример, в котором часто ошибаются, т.к. забывают, что сокращать можно только на общий множитель числителя и знаменателя:

((a + 2) + b)/(a + 2)

И в числителе, и в знаменателе имеется выражение (a + 2). Ошибкой здесь будет просто зачеркнуть (a + 2) и в числителе, и в знаменателе для сокращения дроби, получив (1 + b)/1. Это ошибка. Почему? Потому, что мы сокращать можем только общий множитель, умножение должно присутствовать. А у нас в числителе сумма: (a + 2) + b.

Чтоб сократить эту дробь на (a + 2), надо в числителе вынести за скобку общий множитель
(a + 2) так:

(a + 2)(1 + b/(a + 2)) / (a + 2)

Таким путём мы получили умножение: выражение (a + 2) умножается на скобку (1 + b/(a + 2)), вот теперь можно сокращать и числитель, и знаменатель на (a + 2). Окончательно получаем:

(1 + b/(a + 2))/1 = 1 + b/(a + 2)
Наверх

Рациональные выражения

Рациональные выражения - это целые и дробные выражения, рассмотренные выше.

Иррациональные выражения

Алгебраическое выражение называется иррациональным, если в нём имеется извлечение корня из переменных. Примеры иррациональных выражений:

a2/5 + b2/5;
(2a)5/3;

Дробная степень - это другая форма записи корня.

Трансцендентные выражения

Трансцендентные выражения содержат переменные под знаками логарифмической, показательной, тригонометрических функций. Примеры трансцендентных выражений:

log5a + b;
cos(a + b);