Понятие комплексного числа
Определение комплексного числа:
Если каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, то каждому комплексному числу соответствует точка координатной плоскости.
Пример комплексного числа:
Как понимать «упорядоченная»? В нашем примере (2; 4) на первом месте стоит 2, а на втором стоит 4. Если поменять местами эти числа, вот так (4; 2), то мы получаем другое число, которое не равно числу (2; 4).
Комплексное число (0; 0) называют комплексным нулём.
Арифметические действия с комплексными числами
Сумма комплексных чисел:
(1; 2) + (4; 9) = (1 + 4; 2 + 9) = (5; 11)
Разность комплексных чисел:
(1; 2) — (4; 9) = (1 — 4; 2 — 9) = (-3; -7)
Произведение комплексных чисел:
(1; 2) * (4; 9) = (1*4 — 2*9; 1*9 + 2*4) = (-14; 17)
Деление комплексных чисел:
(1; 2) : (4; 9) = ((1*4 + 2*9)/(42 + 92); (2*4 — 1*9)/(42 + 92)) = (0.23; -0.01)
Все эти операции с комплексными числами вы можете проделать с помощью калькулятора комплексных чисел онлайн.
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Алгебраическая форма записи комплексного числа:
(1; 12) = 1 + 12i
(-1; -12) = -1 — 12i
В алгебраической форме записи комплексного числа a + bi, a называется действительной частью комплексного числа, bi называется мнимой частью комплексного числа, i называется мнимой единицей.
Мнимая единица i равна корню квадратному из минус одного, значит квадрат мнимой единицы равен:
Мнимая единица i даёт нам возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Извлечение корня квадратного из отрицательного числа
Извлечение корня квадратного из отрицательного числа:

ведь корень квадратный из минус единицы равен i, т.е. мнимой единице.
Возведение в степень комплексного числа
Возведение в степень комплексного числа делается ровно также, как и возведение в степень действительного числа. Надо лишь помнить, что мнимая единица в квадрате равна минус единице:
Возведём в квадрат комплексное число 2 + 7i, используя формулу сокращённого умножения (a + b)2 = a2 + 2ab + b2:
Равенство комплексных чисел
Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части соответственно: