Функция



Поддержка JavaScript отключена

SBP-Program
На главную -> Математика -> Школьная математика &nbsp
]]>

Функция

График функции

Автор: Субботин Б.П.

Что такое функция? Что такое функция математическая? Рассмотрим простой пример функции. Пусть дано уравнение:

y = 2x

Если вместо x подставить 1, то y будет равен 2. Вычислив это, мы иксу, равному 1, поставили в соответствие y, равный 2. Соответствие определяется математическим законом. И каков здесь закон? В данном примере математический закон таков: два умножить на икс, т.е. любое значение икс надо умножить на два. Если икс равен 2, то какое значение игрека ему будет соотвестствовать? Применим к иксу наш математический закон, т.е. умножим его на 2 и получим: y = 4.

И где же здесь функция? Функцией здесь является y. Игрек – это функция от икс. Если мы изменим икс, изменится и игрек, игрек зависит от икс, игрек есть функция от икс.

Итак, игрек здесь является функцией от икс.

Икс называют аргументом или независимой переменной. Значение игрека зависит от икс, поэтому игрек называют зависимой переменной или функцией от икс.

Простой пример:

y = x + 5

Где здесь функция? Игрек – это функция, икс – это аргумент функции, математический закон в данном примере состоит в том, что к иксу надо прибавить пять. Как найти значение функции? Надо вместо аргумента, т.е. икса, подставить его значение и вычислить чему равен игрек. Игрек и есть значение функции. Итак, пусть икс = 5. Найдем значение функции, т.е. значение игрека: 5 + 5 = 10. Значит значение функции при икс = 5 будет 10.

Другой пример. Площадь квадрата равна квадрату стороны:

S = a2

Где здесь функция? S – это функция, «a» – это аргумент функции, математический закон в данном примере состоит в том, что «a» нужно возвести в квадрат. Как найти значение функции? Надо вместо аргумента, т.е. “а” подставить его значение и вычислить чему равена площадь S. S и есть значение функции. Итак, пусть a = 5. Найдем значение функции, т.е. значение S. Имеем 5 * 5 = 25. Значит значение функции при a = 5 будет 25.

Составим небольшую таблицу соответствия значений “а” значениям площадей S:

Площадь S 0 1 4 9 16
Сторона a 0 1 2 3 4

Используя математический закон, в данном случае это возведение в квадрат, мы каждому значению длины стороны а поставили в соответствие значение площади S.

В нашем выражении

S = a2

S – это зависимая переменная или функция, ведь её значение зависит от значения длины стороны а;
длина стороны а – это независимая переменная или аргумент функции.

Определение функции: пусть каждому числу икс из множества А поставлено в соответствие одно число игрек, тогда игрек есть функция от икс.

Главное слово в определении функции – это “соответствие”. Если мы определили это соответствие, то определили и функцию.

Когда говорят о функции обычно пишут выражение:

y = f(x)

здесь y – это функция или зависимая переменная,
x – это аргумент функции или независимая переменная,
f – это обозначение математического закона, по которому каждому значению икс ставится в соответствие одно значение игрека.

Примеры функций смотрите выше.

Вот пример функции:

y = 2x – 1

икс в данном примере называется аргументом функции или независимой перемнной.

А где аргумент в такой функции:

S = 20 / t

здесь аргумент – это t. А функция – это S.

Примеры функций и их аргументов смотрите выше.

Значение функции – это то, чему равна функция. Пример. Пусть дана функция:

y = 5x

Функцией здесь является игрек. Чтоб найти значение функции, т.е. значение игрека, нужно подставить допустимое значение аргумента x. Так и сделаем. Пусть икс равен 4, тогда

y = 5 * 4

откуда получаем, что значение функции при икс = 4 будет равно 20-ти.

Область определения функции – это множество допустимых значений аргумента функции. Как это понимать? Вот пример функции:

y = 2x

Чтоб ответить на вопрос какова здесь область определения функции надо понять при каких значениях аргумента икс эта функция имеет смысл. И при каких? При любых. Значит область определения данной функции является вся числовая прямая от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Вот другой пример функции:

y = 2/x

при каких значениях аргумента икс эта функция имеет смысл? При любых, кроме нуля. Ведь на ноль делить нельзя. Итак, в для этой функции областью определения является вся числовая прямая, кроме нуля.

Итак, область определения функции – это множество допустимых значений аргумента функции.

Рассмотрим простые примеры, как находить область определения функции.

Найдем область определения функции

y = 2 / (x + 2)

Область определения функции — это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. В данном примере область определения функции составляют все числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Ведь на ноль делить нельзя. Значит мы должны найти значения икс, при которых знаменатель обратится в ноль и исключить их из области определения функции. Для решения этой задачи приравняем знаменатель к нулю:

x + 2 = 0

Решим это уравнение:

x = -2

Итак, при x = -2 знаменатель будет равен нулю. На ноль делить нельзя, а значит при этом значении икс функция теряет смысл. Теперь мы можем найти область определения функции

y = 2 / (x + 2)

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме числа -2.

Ещё пример. Найти область определения функции

y = 2 / (4x2 — 4x +1)

Мы уже знаем, как находить область определения функции: надо указать значения аргумента, при которых она имеет смысл. Здесь перед нами дробное выражение. Знаменатель не должен быть равен нулю. Значит, область определения функции в данном случае — это все числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль. Как найти такие числа? Приравнять знаменатель нулю:

4x2 — 4x +1 = 0

и решить это квадратное уравнение. Решаем и находим,что корень уравнения x = 0,5. Теперь можно указать область определения функции — это вся числовая прямая, кроме числа 0,5. А что значит указать область определения функции? Это значит указать все значения аргумента (т.е. икса), при которых функция имеет смысл. В нашем случае это все числа, кроме 0,5.

Множество значений функции – это все значения, котороые принимает функция на своей области определения. Рассмотрим функцию:

y = 2x

Множество значений функции в данном случае есть вся числоая прямая.

Другой пример функции:

y = x2

Множество значений функции в данном случае есть интервал от нуля до плюс бесконечности, ведь любое число в квадрате даёт положительное число или ноль.

Чем множество значений функции отличается от области значений функции? Ничем.

Сложная функция. Что такое сложная функция? Это когда одна функция находится внутри другой функции, т.е. аргументом функции является другая функция. Пример сложной функции:

y = (x + 2)5

выражение x + 2 – это функция. Но эта функция в нашем примере возводится в 5-ю степень, т.е. над функцией есть ещё одна функция. Чтоб увидеть вот эту внешнюю функцию обозначим x + 2 через t, получаем:

y = t5

вот так выглядит внешняя функция. Но t само является функцией, т.е. у нас функция оказалась под знаком другой функции.

Сложную функцию обычно представляют так:

y = g(f(x))

здесь икс находится под знаком функции f, а функция f находится под знаком функции g. Одна функция оказалась внутри другой, стала аргументом другой функции, это и есть сложная функция.

Итак, если аргументом функции является другая функция, то мы имеем дело со сложной функцией.

График функции. Как построить график функции? Построение графиков функций обычно начинают с заполнения таблицы, в первой строке который укажем значения функции, а во второй – значения аргумента. Рассмотрим простой пример построения графика функции

y = 2x

Чертим таблицу, в нижней строке указываем значения аргумента функции, т.е. “х”, а в верхней строке укажим соответствующие значения функции, т.е. “y”. Пример: икс равно -2, тогда

y = 2 * (-2) = -4
Y -4 0 2 4 6
X -2 0 1 2 3

Таблица готова. Теперь чертим прямоугольную систему координат и найдём на ней точки, соответствуюшие найденым парам координат. Пример: найдём точку с координатами x = -2; y = -4:

Java

Найдём положение остальных точек и построим график по этим точкам:

Java

Конечно, этот график можно было построить и по двум точкам, ведь прямая определяется двумя точками.

Если для функции f(x) выполняется равенство:

f(x) = f(-x)

то такая функция называется четной.

График четной функции симметричен относительно оси ординат. Пример функция y = x2. Это — парабола:

Java

Если для функции f(x) выполняется равенство:

f(-x) = -f(x)

то такая функция называется нечетной.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример функция y = x3. Это — кубическая парабола:

Java

Если даже для одного значения х функции y = f(x) не выполняется условие четности функции и даже для одного значения х функции y = f(x) не выполняется условие нечетности функции, то данная функция не является четной и не является нечетной.

]]> ]]>
&nbsp
&nbsp
&nbsp